六阶曲率不变量的不可听性

已知闭黎曼流形上函数的拉普拉斯算子的谱不能决定各个四阶曲率不变量 $\operatorname{scal}^2$、$|\operatorname{ric}|^2$、$|R|^2$ 的积分，这些不变量作为第二项热不变量 $a_2$ 中的求和项出现。我们研究了出现在 $a_3$ 中的六阶曲率不变量的积分的类似问题。我们的结果是，它们中没有一个能被谱单独决定，这可以用各种例子说明。特别地，我们证明两个具有三维中心的海森堡型等谱幂零流形是局部等距的，当且仅当它们具有相同的 $|\nabla R|^2$ 值。相反，任意一对中心维数 $r>3$ 的海森堡型等谱幂零流形在任意六阶曲率不变量上均无差异，实际上在任意小于 $2r$ 阶的曲率不变量上也无差异。我们还证明，这意味着对于任意 $k\in\Bbb N$，存在局部齐性流形，它们不是曲率等价的，但在直到 $2k$ 阶的任意曲率不变量上均无差异。