赞欧拉的一个初等恒等式

我们综述了欧拉在其五边形数定理的一个证明中所使用的初等恒等式的应用。利用该恒等式的适当重构版本（我们称之为欧拉望远镜引理），我们给出了终止型超几何级数和基本超几何级数的所有关键求和定理的替代证明，包括终止型二项式定理、Chu-Vandermonde求和、Pfaff-Saalchütz求和及其q-模拟。我们还给出了Jackson的Dougall求和的q-模拟的证明，即一个终止、平衡、非常良态$_8\phi_7$求和。我们的证明在概念上与WZ方法得到的证明相同，但无需使用计算机。我们综述了Macdonald给出的广义超几何级数的恒等式，并证明了组合学中出现的斐波那契数、斐波那契多项式以及佩尔数的q-模拟的几个恒等式。其中一些恒等式似乎是新的。