欧拉与克拉森恒等式的多项式扰动

两个 hypergeometric 系列的乘积通常不是 hypergeometric，但确实有少数情况下，这种乘积会化为单个 hypergeometric 系列。超出显而易见的 $(1-x)^{a}(1-x)^{b}=(1-x)^{a+b}$ 之外的最古老结果是高斯 hypergeometric 函数 ${}_2F_1$ 的欧拉转换。另一个重要的是 1828 年著名的克拉森恒等式，其表达了合适的 ${}_2F_1$ 函数的平方作为单个 ${}_3F_2$。通过 equating coefficients 每个 product identity 对应于一个终止 series 的特殊求和定理。过去二十年间，欧拉转换和许多求和定理通过引入额外的参数对 differing by positive integers 来扩展。这相当于将幂级数系数乘以固定多项式在非负整数上的值。本文的主要目标是呈现通过此类 polynomial perturbation 获得的克拉森恒等式的扩展。为此，我们首先重新审视了 Miller 和 Paris 于 2010 年左右发现的欧拉转换的 polynomial perturbation。我们提出了新的、简化的证明，将其关联到 polynomial interpolation，并展示了各种新的特征多项式形式。我们进一步引入 Miller-Paris operators 的概念，这在构建扩展克拉森恒等式中发挥关键作用。