通过 Schnyder 实现器改进平面图的紧凑可见性表示

设 $G$ 为一个 $n$ 节点平面图。在 $G$ 的可见性表示中，$G$ 的每个节点由一个水平线段表示，使得 $G$ 中任意两个相邻节点对应的线段在垂直方向上彼此可见。在本文中，我们给出了 $G$ 的目前已知最优的紧凑可见性表示。给定三角化 $G$ 的一个规范排序，我们的算法以贪心方式增量绘制该图。我们证明，从三角化 $G$ 的 Schnyder 实现器获得的三个规范排序之一，可产生宽度不超过 $\frac{22n-40}{15}$ 的 $G$ 的可见性表示。我们易于实现的 O(n) 时间算法绕过了 Kant 先前已知最佳算法所需的四连通分量和四块树的复杂子程序。我们的结果对 Kant 关于 $\frac{3n-6}{2}$ 是否是所需宽度的最坏情况下限的开放问题给出了否定答案。此外，如果 $G$ 没有三次（分别为五次）内部节点，则我们的 $G$ 可见性表示的宽度不超过 $\frac{4n-9}{3}$（分别为 $\frac{4n-7}{3}$）。而且，如果 $G$ 是四连通的，则我们的 $G$ 可见性表示的宽度不超过 $n-1$，与 Kant 和 He 的已知最佳结果相匹配。作为副产品，我们为 Bonichon、Sa\"{e}c 和 Mosbah 提出的 Wagner 定理关于实现器的推论提供了一个更简单的证明。