平面图细分的非平面扩展

几乎 4-连通性是 4-连通性的弱化形式，允许存在度数为三的顶点。在本文中，我们证明了以下定理：设 $G$ 是一个几乎 4-连通的无三角形平面图，$H$ 是一个几乎 4-连通的非平面图，且 $H$ 拥有一个同构于 $G$ 的细分的子图。那么存在一个图 $G'$，使得 $G'$ 同构于 $H$ 的minor，并且要么 (i) $G'=G+uv$，其中 $u,v\in V(G)$ 为某些顶点，且 $G$ 的任何面圈都不同时包含 $u$ 和 $v$；要么 (ii) $G'=G+u_1v_1+u_2v_2$，其中 $u_1,u_2,v_1,v_2\in V(G)$ 为某些互异顶点，且 $u_1,u_2,v_1,v_2$ 按所列顺序出现在 $G$ 的某个面圈上。这是一个将在其他论文中使用的引理。事实上，我们证明了一个更一般的定理，其中我们放宽了连通性假设，不假设 $G$ 是平面的，并考虑细分而非 minor。我们使用一组覆盖每条边两次且具有成对连通交集的圈来代替面边界。最后，我们证明了该结果的一个版本，适用于当对于某个大小至多为 $k$ 的集合 $X\subseteq V(G)$，$G\backslash X$ 是平面的，但对于每个大小至多为 $k$ 的集合 $Y\subseteq V(H)$，$H\backslash Y$ 是非平面的情况。