双球与双曲空间的超凡达婚姻

Eguchi-Hanson 度量是 $\mathbb{CP}(1)$ 余切丛总空间 $T^*\mathbb{CP}(1)$ 上天然的度量，这一度量延伸了 $\mathbb{CP}(1)$ 的 Fubini-Study 度量。凭借 Mostow 分解定理，$T^*\mathbb{CP}(1)$ 作为 $SU(2)$ 等价纤维束同 $\mathbb{CP}(1)$ 同构，亦可视为 $SL(2, \mathbb{C})$ 的复（共）轨道。在事实上，这一复（共）轨道以 $\mathbb{CP}(1)\simeq \mathbb{S}^2$ 为基座，每个纤维同双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 同构。本文关注的是由 $2$ 球的超凡达扩展所继承的双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 上的复结构。与普遍认知的常规看法相反，我们表明，这种复结构与 $\mathbb{H}^2 \subset \mathbb{C}$ 通过其嵌入 $\mathbb{C}$ 所继承的自然复结构不同。换言之，$\mathbb{H}^2$ 带其 Hermitian 对称结构嵌入超凡达流形 $T^*\mathbb{CP}(1)$ 时，并非全續的。