标定几何中的双曲性与施瓦茨引理

本文有两个主要目标。首先，对于任意标定流形 $(X,\phi)$，我们定义了 $R_\phi$-双曲性和 $\phi$-双曲性的概念，它们分别推广了复几何中 Kobayashi 双曲性和 Brody 双曲性的概念。为了使前者的概念有意义，我们引入了“KR $\phi$-度量”，这是一种递减的 Finsler 伪度量，在 Kähler 情形下特化为 Kobayashi-Royden 伪度量。我们证明了 $R_\phi$-双曲性蕴含 $\phi$-双曲性，并给出了反例说明其逆命题一般不成立。此外，对于 $\mathbb{R}^n$ 中常系数、内 Möbius 刚性标定 $\phi$，我们完全刻画了 $\phi$-双曲性的区域。其次，我们推导了 Smith 浸入（亦称共形 $\phi$-曲线）到任意标定流形 $(X, \phi)$ 的施瓦茨引理，从而将全纯曲线到 Kähler 流形的施瓦茨引理进行了推广。相关的 Bochner 公式涉及“$\phi$-截面曲率”，这是一个新概念，将标量曲率和全纯截面曲率作为特例包含在内。作为应用，我们证明了 $\phi$-截面曲率被负常数上界控制的标定几何是 $R_\phi$-双曲的，推广了复几何中的相应结果。作为另一应用，我们计算了配备自然标定的实、复和四元双曲空间的 KR $\phi$-度量。