有限群的字符次数之和与字符表之和之比有多大？

1961年，Solomon给出了字符表中所有条目之和的上界和下界，这些界限以群的基本特性表示。我们从另一个角度考虑字符表之和与第一列条目之和（即字符次数之和）之间的比率。首先，我们提出该比率在许多自然群中最多为两。其次，我们扩展Fields的猜想，假设该比率至少为一，且当且仅当该群为阿贝尔群时等式成立。我们证明了这一性质和猜想对所有有限不可约 Coxeter 群均成立。此外，我们证明了该猜想对广义对称群成立。我们主要工具是：不可约 Coxeter 群（或广义对称群）的字符表中某列之和由相应 conjugacy class 代表元的平方根个数（或绝对平方根个数）给出。我们结果的副产品显示，字符表之和的渐进行为与对称、双正交面和仪形面群中不动元素的个数相同。我们也导出了这些后者群的字符表之和的显式生成函数，这些生成函数表示为无限连分数的乘积。就相同精神而言，我们证明了广义对称群 $G(r,1,n)$ 中平方根和绝对平方根个数的类似生成函数公式。