傅里叶矩阵的连续子矩阵的指数病态性有多强？

我们证明，$N\times N$ 离散傅里叶变换（DFT）矩阵的任意循环连续 $p\times q$ 子矩阵的条件数至少为 $$\exp \left( \frac{\pi}{2} \left[\min(p,q)- \frac{pq}{N}\right] \right)~,$$ 相差代数前置因子。也就是说，固定任意形状参数 $(\alpha,\beta):=(p/N,q/N)\in(0,1)^2$，当 $N\to\infty$ 时，其增长为 $e^{\rho N}$，其中速率 $\rho = \frac{\pi}{2}[\min(\alpha,\beta)- \alpha\beta]$。此类 Vandermonde 系统矩阵出现在许多应用中，例如傅里叶延拓、超分辨率和衍射成像。我们的证明使用了 Kaiser-Bessel 变换对（我们给出了其完整证明），以及对畸变 sinc 函数之和的估计，构造了一个局部化的试验向量，其 DFT 也是局部化的。作为热身，我们通过周期化高斯试验向量，给出了上述结果但速率减半的初等证明。利用核 $e^{ixt}$ 的低秩近似，我们还证明了另一个下界 $(4/e\pi \alpha)^q$（相差代数前置因子），该下界在 $\alpha, \beta$ 较小时强于上述结果。结合起来，这些边界在 $(0,1)^2$ 上与数值测量的经验渐近速率相差两倍以内，并且在某些区域变得锐利。然而，这些结果并非渐近的：它们适用于几乎所有的 $N$、$p$ 和 $q$，且所有常数均为显式。