安全认证稀疏 FFT：Ω(k²) 下界与 O(N log N) 最坏情况
信号处理
2026-04-22 v1 数据结构与算法
信息论
math.IT
摘要
计算 k 稀疏信号的傅里叶变换（其中仅有 k 个频率为非零）是压缩感知、雷达和医学成像中的基本问题。虽然快速傅里叶变换 (FFT) 以 O(N log N) 的时间评估所有 N 个频率，但足够稀疏的信号应允许 N 上的亚线性复杂度。现有基于中国剩余定理 (CRT) 重构的稀疏 FFT 算法使用的模选取选择，其最坏情况影响尚未完全阐述。本文作出两个贡献：首先，我们建立了一个 Ω(k²) 对抗性下界，用于 CRT 基于稀疏 FFT 的候选增长，当模数不成为两两互素时（具体当 m₃ | m₁ m₂ 时），这意味着 O(k² N) 的最坏情况验证成本可能超过稠密 FFT 的时间。这一漏洞在实际中具有相关性，因为模数通常必须除以 N 以避免谱泄漏，此时非两两互素的配置可能难以避免。两两互素的模数可避免已证明的攻击；是否存在类似构造用于此类模数仍是一个开放问题。其次，我们提出一种鲁棒框架，将 3-view CRT 稀疏前端与轻量证书（桶占用、候选数）以及自适应稠密 FFT 后备搭配。对于通过证书的信号，稀疏路径实现 O(√N log N + k N) 的复杂度；当证书检测到碰撞风险时，算法回退到 O(N log N) 的稠密 FFT，保证最坏情况性能匹配经典界限。
引用
@article{arxiv.2604.18911,
title = {Safety-Certified CRT Sparse FFT: $\Omega(k^2)$ Lower Bound and $O(N \log N)$ Worst-Case},
author = {Aaron R. Flouro and Shawn P. Chadwick},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.18911},
year = {2026}
}
备注
20 pages, 1 figure, 2 tables