Vandermonde 矩阵有多糟糕？

关于 Vandermonde 矩阵条件数估计的研究，受插值和求积应用的驱动，至少可追溯至 20 世纪 70 年代。实证研究一致表明，Vandermonde 矩阵往往病态严重，仅有少数显著的例外情况，例如离散傅里叶变换（以下简称 DFT）的矩阵。然而，迄今为止，对这一实证观察的形式化支持仅限于由实数节点集定义的矩阵。我们证明了更一般的情况：任何大尺寸的 Vandermonde 矩阵，除非其节点在圆 $C(0,1)=\{x:\,|x|=1\}$ 上或附近大致均匀分布，否则都是严重病态的。DFT 矩阵由该圆上均匀分布的循环节点序列定义，因此是完美条件的；但我们证明，即使将这些节点稍微修改为该圆上的所谓准循环序列，所定义的 Vandermonde 矩阵也会变得严重病态。同样，我们证明了大型 DFT 矩阵的前半部分leading block 也是严重病态的。（这一结果是由对无主元高斯消去法的输入矩阵进行预条件处理的应用所激发的。）我们的分析涉及 Eckart--Young 定理、矩阵结构的 Vandermonde 到 Cauchy 变换、我们新的 Cauchy 矩阵求逆公式以及其大型子矩阵的低秩近似。