非调和Fourier矩阵条件数的多尺度估计

本文研究非调和Fourier矩阵的极端奇异值。这样一个大小为$m\times s$的矩阵可写为$\Phi=[ e^{-2\pi i j x_k}]_{j=0,1,\dots,m-1, k=1,2,\dots,s}$，其中某集合$\mathcal{X}=\{x_k\}_{k=1}^s$。其条件数控制着求逆的稳定性，这对超分辨与非均匀Fourier变换极为重要。在假设$m\geq 6s$且对$\mathcal{X}$无任何限制下，主要定理给出了最小奇异值$\sigma_s(\Phi)$关于$\mathcal{X}$中元素间距离的显式下界。更具体地，超过适当尺度$\tau$的距离对$\sigma_s(\Phi)$影响温和，而小于$\tau$的距离之积主导了$\sigma_s(\Phi)$的行为。这些估计揭示了$\mathcal{X}$的多尺度结构如何影响Fourier矩阵的条件数。理论与数值比较表明，主要定理显著改进了经典界，并在放宽假设的特殊情形下恢复了相同速率。