矩阵的特征值的稳定性与极端特征值的新型扰动界限

设 $A$ 为一个满秩的 $n \times n$ 矩阵，其奇异值为 $\sigma_1(A) \ge \dots \ge \sigma_n(A) >0$。条件数 $\kappa(A):= \sigma_1(A)/\sigma_n(A)=\|A\|\cdot \|A\|^{-1}$ 是以 $A$ 为输入的算法分析中的关键参数。在实际应用中，矩阵（代表真实数据）常受噪声扰动。从技术上讲，实际输入会是 $A$ 的带噪变体 $\tilde A =A +E$，其中 $E$ 表示噪声。条件数 $\kappa(\tilde A)$ 将取代 $\kappa(A)$ 使用。因此，衡量噪声对条件数的影响至关重要。本文聚焦于噪声为随机情况。我们引入区域稳定性（regional stability）的概念，通过该概念设计了新的框架来估计极端奇异值和矩阵条件数的扰动。我们的框架允许我们通过奇异空间的扰动来界定奇异值的扰动。随后，我们采用一种新颖的轮廓分析方法对后者进行界定，该方法作为副产品，为经典的 Davis-Kahan 定理在许多情形下提供了改进版本。我们新近得到的关于最小奇异值 $\sigma_n(A)$ 的估计补充了该领域已知结果，且当原始矩阵 $A$ 的规模远大于噪声矩阵 $E$ 时，具有更有利的特性。