一种新颖的有限分数傅里叶变换及其在Qudits上的量子电路实现

我们提出了一种新的离散分数傅里叶变换的数论定义。在这种方法中，DFrFT被定义为算术旋转群SO_2[Z_N]的生成元的N×N维酉表示，该群是模N整数、2×2矩阵的有限集合，作用于离散环面相空间格点Z_N × Z_N的点上，保持模N的欧几里得距离。我们利用有限量子力学（FQM）的技术，显式地构造了群SO_2[Z_{p^n}]的p^n维酉矩阵表示，并且我们特别详细地计算出了对应于生成元的那个表示。这就是我们对算术分数傅里叶变换（AFrFT）的定义。遵循这个定义，我们继续为AFrFT构建高效的量子电路，在n个p维qudits的集合上，其中p是一个素数，通过引入用于具有二次相位的对角算子的新颖量子子电路以及用于乘以常数的新的量子子电路。我们引入的这些量子子电路提供了一个集合，能够为更一般的群——环面相位空间格点的线性正则变换（LCT）群SL_2[ℤ_N]——中的任何元素构建量子电路。作为副产品，给出了对角和乘法器量子电路在qudit和qubit情况下的扩展，这些扩展本身在各种应用中都是有用的。此外，我们分析了高效AFrFT量子电路的深度、宽度和门复杂度，并估计了其门复杂度为O(n^2)量级，深度为O(n)量级，深度为n，同时它具有允许qudits之间局部相互作用的结构。