量子小波变换：快速算法与完整电路

量子傅里叶变换（QFT）作为经典傅里叶变换的量子类比，已被证明是开发量子算法的有力工具。然而，在经典计算中还有另一类酉变换，即小波变换，其用途与傅里叶变换同样广泛。小波变换用于揭示信号的多尺度结构，并可能有助于量子图像处理与量子数据压缩。本文推导了两种代表性量子小波变换——量子Haar与量子Daubechies $D^{(4)}$ 变换——的高效、完整量子电路。我们的方法是将这些变换的算子分解为酉矩阵的直接和、直积与点积。在此过程中，我们发现置换矩阵（一类特殊的酉矩阵）起着关键作用。令人惊讶的是，我们发现经典上易于且廉价实现的操作在量子力学中并非总是易于且廉价实现，反之亦然。特别地，某些置换矩阵的计算代价在经典上被忽略，因为它们可被显式避免。然而在量子力学中，这些置换操作必须被显式执行，因此其代价进入了量子变换的总复杂度度量。我们考虑量子小波变换中出现的一类特定置换矩阵，并设计了实现它们的高效量子电路。这使我们得以设计出高效、完整的量子小波变换电路。