自相似树中的Horton定律

随机树的自相似性与剪枝操作相关。剪枝 $R$ 切断叶子及其父边，并从有限树中移除由此产生的二度节点链。顶点 $v$ 及其父边的Horton-Strahler阶定义为消除以 $v$ 为根的子树所需的最少剪枝次数。分支（branch）是一组具有相同阶的相邻顶点和边。Horton数 $N_k[K]$ 和 $N_{ij}[K]$ 定义为在阶为 $K$ 的有限树中，阶为 $k$ 的分支的期望数目，以及合并了阶为 $j$ 的分支的阶为 $i$ 的分支的期望数目（$j>i$）。Tokunaga系数定义为 $T_{ij}[K]=N_{ij}[K]/N_j[K]$。剪枝使树顶点的阶减一。若一棵有根满二叉树其Tokunaga系数关于剪枝不变：$T_k:=T_{i,i+k}[K]$，则称其为均值自相似的。我们证明对于自相似树，条件 $\limsup(T_k)^{1/k}<\infty$ 是强Horton定律存在的充要条件：对于某个 $R>0$ 和每个 $k\geq 1$，当 $K \rightarrow \infty$ 时 $N_k[K]/N_1[K] \rightarrow R^{1-k}$。这项工作是为Horton定律提供严格基础的一步，该定律在自然分支系统中无处不在，但迄今缺乏形式化解释。