k 正则树 phylogenetic 协方差矩阵的稀疏化

考虑一棵具有根部 $\circ$ 和边长函数 $\ell:E\to\mathbb{R}_+$ 的树 $T=(V,E)$。其生物学树的协方差矩阵 $C$ 的行列索引为 $T$ 的叶子集 $L$，矩阵条目定义为 $C(i,j):=\sum_{e\in[i\wedge j,o]}\ell(e)$，其中 $i,j\in L$。近期研究 [15] 表明，在以 $T$ 的所谓 Haar 型小波为基进行变换的情况下，大型随机二叉树的生物学树协方差矩阵以几乎必然的高概率显著稀疏化。这一发现 notable 地使得在不必将其存储在计算机内存中的情况下，能够操控大型二叉树协方差矩阵的谱，仅需对树进行两次后序遍历。基于 [15] 的方法，本文进一步将其稀疏化结果推广至更广泛的 $k$ 正则树类，即适用于任意给定的 $k\ge2$。通过细化现有关于随机 $k$ 正则树内部路径长度均值和方差的渐近公式，并运用超几何函数性质与恒等式实现该扩展。