系统发育不变量：从一般马尔可夫模型到等变模型的直推

在过去十年中，一些代数工具已成功应用于系统发育重建。这些工具主要基于对与在分子替换马尔可夫过程下演化的系统发育树相关的代数簇的方程的认识，即所谓的系统发育不变量。尽管相关理论允许为所有等变模型（包括一些最流行的核苷酸替换模型）显式给出这些方程，但这些代数工具的实际使用一直局限于一般马尔可夫模型的情形。可以说，这一局限的原因之一是显式给出这些方程需要先掌握线性表示论。为了扩大代数系统发育学的实际用途，本文我们证明在等变模型下演化的树的系统发育不变量可由一般马尔可夫模型的系统发育不变量导出，而无需表示论。我们的主要结果表明，在等变模型下演化的系统发育树对应的代数簇，是在一般马尔可夫模型下同一棵树对应的代数簇与该模型所定义的线性空间相交后的一个不可约分支。我们还证明，对任意等变模型，那些对实际使用（如树重建）重要的系统发育不变量，可简单地由对树叶片处联合分布展平所得矩阵的一个单一秩约束推导得出。该条件可容易地通过矩阵的奇异值进行检验，并将我们的结果从树推广到系统发育网络。