Artinian 环上的 Hopfian 与余 Hopfian 模

一个 $R$-模 $M$ 称为 Hopfian（余 Hopfian），若 $M$ 的任意满（单）自同态都是自同构。若 $R$ 是交换 Noetherian 环，我们刻画了余 Hopfian 内射 $R$-模，以及在 $R$ 同时约化时的 Hopfian 内射模。对于交换 Artinian 主理想环，我们证明 $M$ 是 Hopfian（余 Hopfian）当且仅当 $M$ 是有限生成的，当且仅当其内射包络 $E(M)$ 是 Hopfian（余 Hopfian），当且仅当 $E(M)$ 是有限生成的。我们指出了将该结果推广到任意 Artinian 主理想环时的障碍。