二维台球的同伦旋转数

传统上,环面台球流的旋转数被定义为轨迹段上单位时间平均位移的极限向量。自然地,若环面台球给定在平坦的 $n$-环面上,这些对象生活在(交换)向量空间 $\real^n$ 中。台球轨迹作为曲线,时常非常接近闭回路,很自然地定义了台球桌基本群中的元素。由此得到的最简单的非平凡基本群属于经典的 Sinai 台球,即去掉一个凸障碍的 2-环面上的台球流。已知该基本群是由两个元素自由生成的群 $\textbf{F}_2$,它是 Gromov 意义下高度非交换的双曲群。我们为该模型定义了同伦旋转数与同伦旋转集,并对后者给出了上下估计,同时验证了经典所期望的性质(如周期轨道的同伦旋转数在同伦旋转集中的稠密性)的成立性。这些对象的自然居所是竖立于双曲群 $\textbf{F}_2$ 的所有“端点”的 Cantor 集 $\text{Ends}(\textbf{F}_2)$ 上的无穷锥。$\text{Ends}(\textbf{F}_2)$ 的一个元素描述了所考虑轨迹在其( Cayley 图的)无穷逃逸方向,而锥的高度函数 $t$ ($t \ge 0$) 给出了该逃逸发生的平均速度。