离散薄结构的均匀化

我们考虑参数化在格 $\mathbb Z^d\times \mathbb Z^k$ 的柱状子集 $X\subset\mathbb Z^d\times \{1,\ldots, M\}^k$ 上的图，并对定义在 $X$ 上的二次型能量执行从离散到连续的降维过程。我们仅有的假设是 $X$ 作为图是连通的，且在前 $d$ 个方向上是周期的。我们证明，通过小参数 $\varepsilon$ 对区域和能量进行标度后，标度能量收敛到一个 $d$ 维极限能量。主要技术要点是降维粗粒化过程和 Zhikov 的 $p$-连通方法的离散版本。