具有三种不同光滑核的非局部演化问题的齐次化

在本文中，我们考虑与跳跃过程相关的演化问题的齐次化，该过程涉及三种不同的光滑核，分别控制往返于域不同部分的跳跃。我们假设空间域被划分为两个子域序列 $A_n \cup B_n$，并且我们有三种不同的光滑核：一个控制从 $A_n$ 到 $A_n$ 的跳跃，第二个控制从 $B_n$ 到 $B_n$ 的跳跃，第三个控制 $A_n$ 与 $B_n$ 之间的相互作用。假设 $\chi_{A_n} (x) \to X(x)$ 在 $L^\infty$ 中弱收敛（从而 $\chi_{B_n} (x) \to 1-X(x)$ 在 $L^\infty$ 中弱收敛）当 $n \to \infty$，且初值条件由 $L^2$ 中的密度 $u_0$ 给出，我们证明了存在齐次化极限系统，其中出现了三个核与极限函数 $X$。当初值条件为某一点的 delta 函数 $\delta_{\bar{x}}$（对应于从 $\bar{x}$ 开始的过程）时，我们证明了沿子序列存在收敛，使得对足够大的每个 $n_j$ 有 $\bar{x} \in A_{n_j}$ 或 $\bar{x} \in B_{n_j}$。我们还提供了该演化方程的概率解释，用描述粒子根据三种不同核在 $\Omega$ 中跳跃的随机过程表示，并证明底层过程依分布收敛到与极限方程相关的极限过程。我们聚焦于诺伊曼型边界条件的分析，并在结尾简要描述了如何处理狄利克雷边界条件。