透镜空间 $L(p, 1)$ 的 HOMFLYPT skein 子模

在本文中，我们通过辫子研究透镜空间 $L(p, 1)$ 的 HOMFLYPT skein 模 $\mathcal{S}(L(p,1))$。我们的出发点是实心环面 ST 的 HOMFLYPT skein 模 $\mathcal{S}({\rm ST})$ 的线性 Turaev 基 $\Lambda^{\prime}$，它可分解为“正”子模 ${\Lambda^{\prime}}^+$ 与“负”子模 ${\Lambda^{\prime}}^-$ 的张量积，以及用于 ST 中纽结与链的 Lambropoulou 不变量 $X$，其捕获 $S({\rm ST})$。目前一个已知结果是 $\mathcal{S}(L(p, 1))=\frac{\mathcal{S}(ST)}{<bbm's>}$，其中 bbm's（braid band moves，辫带移动）表示对应于 $L(p, 1)$ 手术描述的同位素移动。即，ST 中纽结与链的 HOMFLYPT 型不变量可通过施加由执行 bbm's 得到的关系并求解由此获得的无穷方程组，扩展为 $L(p, 1)$ 中纽结与链的不变量。\smallbreak 在本文中，我们使用 $\mathcal{S}({\rm ST})$ 的新基 $\Lambda$，并通过映射 $I$ 将作用于 $\Lambda^+$ 中元素的 bbm's 所获得的无穷方程组与作用于 $\Lambda^-$ 中元素的 bbm's 所获得的无穷方程组联系起来。更确切地说，我们证明了一个方程组的解可由另一个方程组的解导出。我们的目标是通过辫子技术降低为计算 $\mathcal{S}(L(p,1))$ 所需求解的无穷方程组的复杂度。最后，我们给出了 $\frac{\Lambda^+}{<bbm's>}$ 的生成集与潜在基，并由此获得 $\frac{\Lambda^-}{<bbm's>}$ 的生成集与潜在基。我们还讨论了通过辫子计算 $\mathcal{S}(L(p,1))$ 所需的进一步步骤。