关于 S^1 x S^2 的 Homflypt 绺模

设 $k$ 为有理函数域（变量为 $x, v, s$）的一个子环，且包含 $x^{\pm 1}, v^{\pm 1}, s^{\pm 1}$。若 $M$ 为定向 3-流形，令 $S(M)$ 表示 $M$ 上基于 $k$ 的 Homflypt 绺模。这是由 $M$ 中带框定向链环的同位类生成的自由 $k$-模，模去 Homflypt 绺关系而得：(1) $x^{-1}L_{+}-xL_{-}=(s-s^{-1})L_{0}$；(2) 带正扭的 $L$ $=(xv^{-1})L$；(3) $L\sqcup O=(\frac{v-v^{-1}}{s-s^{-1}})L$，其中 $O$ 为平凡结。我们给出边界含 2 点的实心环的相对 Homflypt 绺模的两个基。第一个基与 V. Turaev 以及 J. Hoste 和 M. Kidwell 给出的 $S(S^1\times D^2)$ 的基相关；第二个基基于 A. Aiston、H. Morton 和 C. Blanchet 的工作，与 $S(S^1\times D^2)$ 的一个 Young 幂等元基相关。我们证明：若对非零整数 $n$，元素 $s^{2n}-1$，以及对任意整数 $m$，元素 $s^{2m}-v^{2}$ 在 $k$ 中可逆，则 $S(S^{1} \times S^2)=k$-扭模 $\oplus k$。此处自由部分由空链环 $\phi$ 生成。此外，若对整数 $m$，元素 $s^{2m}-v^{4}$ 在 $k$ 中可逆，则 $S(S^{1} \times S^2)$ 无扭。我们也得到了对更一般的 $k$ 的一些结果。