Wasserstein-Sobolev 空间中由 Dirichlet-Ferguson Laplacian 驱动的 HJB 方程

我们研究了定义在平坦环面 $\mathbb{T}^d$ 上的概率测度空间 $\mathcal{P}(\mathbb{T}^d)$ 上的线性与非线性 PDE，该空间配备了 Dirichlet-Ferguson 测度 $\mathcal{D}$。我们首先建立了一个基于 Wasserstein-Sobolev 空间 $H^{1,2}(\mathcal{P}(\mathbb{T}^d), W_2, \mathcal{D})$ 的解析框架，该空间与作用于测度函数的无穷维 Laplacian 所诱导的 Dirichlet 形式相关联。在此设定下，我们建立了 Wasserstein 空间中输运-扩散方程与 Hamilton-Jacobi 方程的存在性与唯一性结果。我们的分析将 PDE 方法与相应的相互作用粒子系统联系起来，为强解提供了概率论（Kolmogorov 型）表示。最后，我们将该理论推广至半线性方程与平均场最优控制问题，并给出了相容的有限维逼近。