基于深度希尔伯特-加尔金方法的无限维偏微分方程与最优控制

我们发展了针对可分离希尔伯特空间上全非线性二阶偏微分方程（如无限维控制问题中的哈斯金-布尔金方程）的深度学习近似方法，通过对解决方案进行希尔伯特-加尔金神经算子（HGNOs）参数化来实现。我们证明了首个足以解决此类问题的通用逼近定理（UAT），基于Hessian项的新拓扑结构以及相应的新连续性假设。这类拓扑结构是非序列的、非度量的，这使得问题变得棘手。具体而言，我们为希尔伯特空间上的函数及其至多二阶的Fréchet导数，以及应用于一阶导数的无界算子，证明了UAT，确保HGNOs能够逼近所有PDE项。对于控制问题，我们进一步证明了以我们近似值函数HGNO为基础的最优反馈控制的UAT。我们开发了数值训练方法，称为深度希尔伯特-加尔金和希尔伯特演员-评论家（强化学习）方法，通过最小化整个希尔伯特空间上PDE残差的$L^2_\mu(H)$范数来求解这些问题，这是首次提出此类方法。所考虑的模型出现在众多应用科学领域，如物理学中的函数微分方程、与受控PDE、SPDE、路径依赖系统、部分观测随机系统和均值场SDE相关的Kolmogorov和HJB方程。我们数值求解了与确定性和随机热方程、布尔格方程最优控制相关的Kolmogorov和HJB方程的示例，展示了我们基于深度学习的ethods的前景。