平均场控制问题的深度Galerkin方法的收敛性
最优化与控制
2024-05-24 v1 机器学习
摘要
我们建立了深度 Galerkin 方法（DGM）的收敛性，这是一种基于深度学习的求解高维非线性偏微分方程（PDE）的方案，用于研究平均场控制问题（MFCP）产生的 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。基于最近将 MFCP 的值函数表征为单纯形上 HJB 方程的唯一粘性解，我们建立了 DGM 的存在性和收敛性结果。首先，我们证明，如果 MFCP 的值函数具有足够的正则性，则 DGM 的损失泛函可以任意小。然后，我们证明，如果 DGM 的损失泛函收敛到零，则相应的神经网络逼近器必须在单纯形上一致收敛到真实值函数。我们还提供了数值实验，证明 DGM 在高维 HJB 方程上的泛化能力。
引用
@article{arxiv.2405.13346,
title = {Convergence of the Deep Galerkin Method for Mean Field Control Problems},
author = {William Hofgard and Jingruo Sun and Asaf Cohen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.13346},
year = {2024}
}
备注
27 pages, 6 figures