Axiom A 系统与一般区间交换中的首次进入时间与维数

在本注记中，我们证明了对于公理 A 系统的平衡态，典型点 $x$ 首次进入半径为 $r$ 的典型球 $B$ 所需的时间 $\tau_{B}(x)$ 满足标度关系 $\tau_{B}(x)\sim r^{d}$，其中 $d$ 为不变测度在球心处的局部维数。对满测度集的区间交换也证明了类似关系。并给出了对无界（且非 $L^{1}$）函数的 Birkoff 平均的一些应用。