由径向权诱导的Hardy空间上的Hilbert型算子

我们考虑由下式定义的Hilbert型算子 $$H_{\omega}(f)(z)=\int_0^1 f(t)\left(\frac{1}{z}\int_0^z B^{\omega}_t(u)\,du\right)\,\omega(t)dt,$$ 其中 $\{B^{\omega}_\zeta\}_{\zeta\in\mathbb{D}}$ 是由单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中径向权 $\omega$ 诱导的Bergman空间 $A^2_\omega$ 的再生核。我们证明 $H_{\omega}$ 在Hardy空间 $H^p$ ($1<p<\infty$) 上有界当且仅当 \begin{equation} \label{abs1} \sup_{0\le r<1} \frac{\widehat{\omega}(r)}{\widehat{\omega}\left( \frac{1+r}{2}\right)}<\infty, \tag{\dag} \end{equation} 且 \begin{equation*} \sup\limits_{0<r<1}\left(\int_0^r \frac{1}{\widehat{\omega}(t)^p} dt\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_r^1 \left(\frac{\widehat{\omega}(t)}{1-t}\right)^{p'}\,dt\right)^{\frac{1}{p'}} <\infty, \end{equation*} 其中 $\widehat{\omega}(r)=\int_r^1 \omega(s)\,ds$。我们还证明 $H_\omega: H^1\to H^1$ 有界当且仅当 \eqref{abs1} 成立且 $$\sup\limits_{r \in [0,1)} \frac{\widehat{\omega}(r)}{1-r} \left(\int_0^r \frac{ds}{\widehat{\omega}(s)}\right)<\infty.$$ 对于 $p=\infty$ 的情形, $H_\omega$ 从 $H^\infty$ 到 $BMOA$ 或Bloch空间有界当且仅当 \eqref{abs1} 成立。此外,我们证明不存在径向权 $\omega$ 使得 $H_{\omega}: H^p \to H^p$ ($1\le p<\infty$) 是紧的,并考虑了 $H_{\omega}$ 在若干与Hardy空间密切相关的解析函数空间上的作用。