作用在 Hardy、Bergman 与 Dirichlet 空间上的 Rhaly 算子

本文讨论了复数序列 $(\eta )=\{ \eta_n\}_{n=0}^\infty$ 其关联的 Rhaly 算子 $\mathcal R_{(\eta )}$ 在 Hardy 空间 $H^p$ ($1\le p<\infty$)、Bergman 空间 $A^p_\alpha$ 以及 Dirichlet 空间 $\mathcal D^p_\alpha$ ($1\le p<\infty$, $\alpha >-1$) 上是否具有界或紧致性的特征问题。我们给出若干条件，这些条件要么是 $\mathcal R_{(\eta )}$ 在这些空间上具有界(紧致)的必要条件，要么是充分条件。这些条件涉及解析函数 $F_{(\eta )}$ 定义的函数 $F_{(\eta )}(z)=\sum_{n=0}^\infty \eta _nz^n$ ($z\in \mathbb D$) 在某些均值 Lipschitz 空间中的成员资格。\par 当 $2\le p<\infty$ 且 $\eta_n=\og \left (\frac{1}{n}\right )$ 时，$\mathcal R_{(\eta )}$ 在 $H^p$ 上具有界。然而，存在一个序列 $(\eta )$ 其满足 $\eta_n=\og \left (\frac{1}{n}\right )$，使得算子 $\mathcal R_{(\eta )}$ 在 $H^p$ 中不具有界 ($1\le p<2$)。\par 我们也讨论了导数-Hardy 空间。对于 $p>0$，导数-Hardy 空间 $S^p$ 由那些在单位圆盘 $\mathbb D$ 中解析的函数组成，其导数 $f^\prime \in H^p$。我们证明当 $1\le p<\infty$ 且 $1<q<\infty$ 时，$\mathcal R_{(\eta )}$ 从 $S^p$ 映入 $S^q$ 为界算子当且仅当其为紧致算子，这恰当当且仅当 $F_{(\eta )}\in S^q$。