非简化节点曲线上点的Hilbert scheme

我们构造了非简化且节点状平面曲线 $x^uy^v=0$ 上点集的Hilbert scheme的分层结构。每个分层由我们定义的新型组合对象：弱对角分区所索引。该方法基于引入理想范集，以及一种适用于非简化结构的估值方法，以系统方式分析生成器及其自由度。特别地，当 $u=1,2$ 时，每个分层都是仿射的；当 $u=v,v-1,v-2$ 时，每个分层均同构于代数环面乘以仿射空间，$(\mathbb{C}^*)^{m_1} \times \mathbb{C}^{m_2}$。我们因此计算了当 $u=1,2,v-2,v-1,v$ 时，$x^uy^v=0$ 曲线上点集Hilbert scheme的Poincaré多项式。作为应用，我们证明了当 $u=1, v$ 任意时，色彩Oblomkov-Rasmussen-Shende猜想对于Hopf链成立，表明其Poincaré多项式是行色链接同调，仅需变量变换。