三步旗 Hilbert 概形的同调

我们证明了支撑于 $\mathbb{C}^2$ 原点处的 0 维子概形的三步旗 Hilbert 概形 $$\text{Hilb}^{n, n+1, n+2}(0) := \left\{\mathbb{C}[[x,y]]\supset I_n\supset I_{n+1}\supset I_{n+2}: I_i \,\,\text{ ideals with } \text{dim}_{\mathbb{C}} {\mathbb{C}[x,y]}/{I_i} = i \right\}$$ 存在仿射铺砌。这是通过证明该空间分层为光滑子簇（即 Hilbert-Samuel 分层）来实现的，每个子簇都具有带有已知维数胞腔的仿射铺砌，并由标记杨图索引。Hilbert-Samuel 分层的仿射铺砌使我们能够证明 $\text{Hilb}^{n,n+1, n+2}(0)$ 的 Poincar\'{e} 多项式满足：$$\sum_{n\geq 0} P_q\left(\text{Hilb}^{n,n+1, n+2}(0)\right) z^n = \frac{q+1}{(1-zq)(1-z^2q^2)}\,\, \prod_{k\geq 1} \frac{1}{1-z^kq^{k-1}}.$$ 在证明该公式的过程中，我们在组合上将我们空间的同调与已知的 $\text{Hilb}^{n+1, n+3}(0)$ 子空间的同调联系起来。作为推论，我们找到了所有 $n\in \mathbb{N}$ 的 $\text{Hilb}^{n, n+2}(0)$ 的仿射铺砌及其 Poincar\'{e} 多项式生成函数的公式。