Hilbert-90商映射、扭性缺陷与对称单调性

设 $\tau(z)=-1-z^{-1}$。我们研究通过消去公共因子得到的简化有理映射 $h_d:\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$，即 $H_d^{\rm raw}(z)=z^d(\tau(z)^d-1)/(z^d-1)$。这些映射通过Hilbert-90下降从 $\operatorname{Tr}_{\mathbb{F}_{q^3}/\mathbb{F}_q}$ 上特征值为零的映射 $X^{dq}-X^d$ 中获得，但核心对象是 resulting 的 $\tau$-等变商映射家族；非常数可分离成员被视为覆盖。我们证明消去恰好是扭性缺陷现象。如果 $\ell(-)$ 表示 scheme-theoretic 长度且 $\boldsymbol{\mu}_d=\ker([d]:\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m)$，则 $\mathrm{deg}(h_d)=d-\ell((1+X+Y=0)\cap\boldsymbol{\mu}_d^2)$，且在特征 $p>0$ 且 $d=p^s d_0$ 且 $p\nmid d_0$ 时，$h_d=\operatorname{Frob}_{p^s}\circ h_{d_0}$ 且 $\mathrm{deg}(h_d)=p^s\mathrm{deg}(h_{d_0})$。我们分类特征至多为一的仪射度数和恰好为二的度数；最大扭性缺陷层中得到特征为二的 Mersenne 特征值零置换家族。在特征零中我们证明主要单调性定理：每个非线性商都是Morse的，具有完全对称几何单调性，$G_{h_d}=S_{\mathrm{deg}(h_d)}$；证明通过排除分支值碰撞的循环交叉比方程。在正特征中我们识别稀疏的Kummer和Artin-Schreier商，验证了特征19 Klein-four Galois商，以及第一个稀疏Frobenius-lacunary塔直到其宣称的原旱性和wild-inertia边界。一个扭转的对角线纤维平方特征公式将2-传递单调性转化为 $\tau$-扭异常性的均匀阻碍。