使得 $K(tH)$ 在 $K$ 上的超越次数为 2 的有理映射 $H$

我们对所有满足 ${\rm trdeg}_K K(tH_1,tH_2,\ldots,tH_n) \le 2$ 的有理映射 $H \in K(x)^n$ 进行了分类，其中 $K$ 为任意域，$t$ 为另一个未定元。此外，我们还对所有额外满足 $JH \cdot H = {\rm tr} JH \cdot H$（其中 $JH$ 为 $H$ 的 Jacobian 矩阵）的此类映射进行了分类，即对于所有 $k \le n$，有 $$\sum_{i=1}^n H_i \frac{\partial}{\partial x_i} H_k = \sum_{i=1}^n H_k \frac{\partial}{\partial x_i} H_i$$。这推广了 Paul Gordan 和 Max N"other 的一个定理，该定理假设两边及 $K$ 的特征均为零。除此之外，我们利用部分工具获得了关于 $K(x)$ 的 $K$-子代数 $R$ 的若干结果，其中 $L$ 为 $R$ 的分式域且 ${\rm trdeg}_K L = 1$。我们首先就 L"uroth 定理可在何种程度上被推广进行了一些观察。