经典李代数的 Hikita 猜想

设 $G$ 为 $Sp_{2n}$、$SO_{2n}$ 或 $SO_{2n+1}$，$G^\vee$ 为其 Langlands 对偶群。Barbasch 和 Vogan 基于 Lusztig 和 Spaltenstein 的早期工作，定义了一个对偶映射 $D$，将幂零轨道 $\mathbb{O}_{e^\vee} \subset \mathfrak{g}^\vee$ 映射到特殊幂零轨道 $\mathbb{O}_e\subset \mathfrak{g}$。在 Losev、Mason-Brown 和 Matvieievskyi 的一项工作中，考虑了该对偶的升级版本 $\tilde{D}$，称为精细 BVLS 对偶。$\tilde{D}(\mathbb{O}_{e^\vee})$ 是 $\mathbb{O}_e$ 的一个 $G$-等变覆盖 $\tilde{\mathbb{O}}_e$。设 $S_{{e^\vee}}$ 为轨道 $\mathbb{O}_{e^\vee}$ 的幂零 Slodowy 切片。两个簇 $X^\vee= S_{e^\vee}$ 和 $X=$ Spec$(\mathbb{C}[\tilde{\mathbb{O}}_e])$ 预期互为辛对偶。在此背景下，Hikita 猜想的一个版本预测 Springer 纤维 $\mathcal{B}_{e^\vee}$ 的上同调环与某环面 $T$ 的概形论不动点 $X^T$ 上的正则函数环之间存在同构。本文验证了该同构对于某些对 $e$ 和 $e^\vee$ 成立。当 $e^\vee$ 在 Levi $\mathfrak{l}^\vee\subset \mathfrak{g}^\vee$ 中正则时，这些情况预期涵盖了 Hikita 猜想成立的几乎所有实例。我们在这些情况下的结果源于三类不同对象之间的关系：广义余不变代数、等变上同调环以及概形论相交上的函数。我们还给出了 $e^\vee$ 为 distinguished 时 Hikita 猜想的证据。