通过簇理论与热带化实现的朗兰兹对偶与泊松-李对偶

设$G$为连通半单李群。存在两种自然的对偶构造，分别赋予其朗兰兹对偶群$G^\vee$与泊松-李对偶群$G^*$。本文的主要结果是这两个对象间的如下关系：由$G^\vee$中双布鲁哈特胞腔$G^{\vee; w_0, e} \subset G^\vee$上的簇结构与Berenstein-Kazhdan势定义的整锥，同构于由$K^* \subset G^*$（紧形式$K \subset G$的泊松-李对偶）的部分热带化上的泊松结构定义的整Bohr-Sommerfeld锥。由[5]知，第一个锥参数化不可约$G$-模的典范基。第二个锥中的对应点属于由表示最高权标记的部分热带化的整辛叶。作为我们构造的副产品，我们证明了$K^*$的部分热带化中一般辛叶的辛体积等于$\operatorname{Lie}(K)^*$中相应余伴随轨道的辛体积。为实现这些目标，我们利用了Fock与Goncharov [9]定义的（朗兰兹对偶）双簇簇。这些是其种子矩阵互为转置的簇对。它们的热带化之间存在自然定义的同构。上述锥之间的同构是关联到双布鲁哈特胞腔$G^{w_0, e} \subset G$与$G^{\vee; w_0, e} \subset G^\vee$的此类同构的一个特例。