具有极小尺寸 Belavin-Drinfeld 数据的 $SL_n$ 上的奇异簇结构：II. 簇结构与 BD 三元组之间的对应

利用简单李群坐标环中泊松括号与簇结构之间的相容性概念，Gekhtman、Shapiro 和 Vainshtein 猜想二者之间存在对应。泊松李群由经典杨-巴克斯特方程解的 Belavin--Drinfeld 分类来分类。对于 $SL_{n}$ 的任意非平凡极小尺寸 Belavin--Drinfeld 数据，配套论文构造了一个具有局部正则初始种子的簇结构，并被证明与该 Belavin--Drinfeld 数据相关的泊松括号相容。本文证明了该猜想的其余部分：相应的上簇代数 $\overline{\mathcal{A}}_{\mathbb{C}}(\mathcal{C})$ 自然同构于 $\mathcal{O}\left(SL_{n}\right)$，由 BD 三元组确定的环面生成 $(\mathbb{C}^{*})^{2k_{T}}$ 在 $\mathbb{C}\left(SL_{n}\right)$ 上的作用，且 Belavin--Drinfeld 类与簇结构之间的对应是一一对应的。