关于幂零轨道与抛物 Slodowy 簇的 Hikita-Nakajima 猜想

设 $G$ 为复可约代数群。在 arxiv:2108.03453 中，Ivan Losev、Lucas mason-Brown 及第三作者提出了 $\mathfrak{g}^\vee$ 中的幂零 Slodowy 切片与特殊幂零轨道的某些 $G$-等变覆盖的仿射化之间的辛对偶。在本文中，我们研究了该配对的各版本 Hikita 猜想。我们证明了原猜想表述对于所讨论的配对不成立，并提出了一个精细化版本。我们讨论了证明精细化 Hikita 猜想的一般方法，并证明了抛物 Slodowy 簇的精细化版本，这涵盖了 arxiv:2108.03453 中考虑的许多情形甚至更多。应用于 arxiv:2108.03453 的设定时，精细化 Hikita 猜想从辛对偶的角度解释了特殊幂幺理想的重要性。我们还讨论了结果的应用。在附录中，我们讨论了李理论中与精细化版本和原始版本相关的一些经典问题。我们还解释了如何利用我们的结果简化文献中已知结果的某些证明。作为我们结果的组合应用，我们观察到了 Springer 纤维几何与对应 Weyl 群中左 Kazhdan-Lusztig 胞腔之间的有趣关系。