Segal Topos 的更高阶 Galois 理论与自然现象

Toen 和 Vezzosi 证明了对于 Segal topos $T$，以及作为 CW 复形 $X$ 上局部常值栈的 Segal 范畴 $lX = Loc(X)$，$RHom^{geom}(T,lX)$ 是一个 Segal groupoid。取此类 groupoid 的实现定义了一个 pro-object $H_T = |RHom^{geom}(T, -)|$，其被定义为 topos $T$ 的同伦形状。我们的做法则是固定一个 Segal topos $X$，让 $T$ 变化，并利用 $RHom^*_{Lex}(X,T) = RHom^{geom}(T,X)$ 是一个基本 $\infty$-groupoid 这一事实。然后我们证明 $X$ 是 $RHom^{geom}(T,X)$ 上局部系统的 Segal 范畴的局部化，这秉承了 Hoyois 在其《Higher Galois Theory》一文中的工作精神，该文在本质上证明了 $H_T$ 上的局部系统等价于 $T$ 本身。我们提供了该形式化体系的一个应用，将衍生栈的 Segal topos $X=dSt(k)$（其中 $k$ 为交换环）视为自然定律表现的对应物，这些自然定律本身由单纯代数（即 $sk-CAlg$ 的对象）建模。