高维双纽线：具有对数势的$n$维空间中$r$个粒子的几何

我们证明了关于维数 $n \geq 3$ 的欧几里得空间中双纽线构型的一些基本定理。双纽线定义如下：给定 $\mathbb R^n$ 中的 m 个点 $w_j$，考虑函数 $F(x)$ 为距离 $|x-w_j|$ 的乘积：函数 $F$ 的奇异水平集称为双纽线。我们通过复分析表明 $F$ 的临界点具有至少 $(n-1)$ 的正定性Hessian。这意味着，如果 $F$ 是Morse函数，则 $F$ 仅有局部极小值和负性为1的鞍点。临界点位于点 $|w_j|$ 的凸包中（这些为绝对极小值）：但我们还发现 $F$ 也可具有其他局部极小值，且实际上可任意多。我们讨论了几个显式例子。最后我们在附录中证明所有临界点都是孤立的。