高维 Frobenius 问题与 Cantor 集的 Lipschitz 等价

高维 Frobenius 问题由前一篇论文 [Fan, Rao and Zhang, Higher dimensional Frobenius problem: maximal saturated cones, growth function and rigidity, Preprint 2014] 引入。在本文中，我们研究了 $\mathbb R^d$ 中尘状自相似集的 Lipschitz 等价性。对于任何自相似集，我们将其与一个高维 Frobenius 问题相关联，并证明了该关联高维 Frobenius 问题的方向增长函数是一个 Lipschitz 不变量。作为一个应用，我们解决了当两个尘状自相似集 $E$ 和 $F$ 具有共面比率时的 Lipschitz 等价问题，证明了它们 Lipschitz 等价当且仅当 $E$ 的第 $p$ 次迭代的压缩向量是 $F$ 的第 $q$ 次迭代压缩向量的一个排列（对于某些 $p, q\geq 1$）。这在部分上回答了 Falconer 和 Marsh [On the Lipschitz equivalence of Cantor sets, \emph{Mathematika,} \textbf{39} (1992), 223--233] 提出的问题。