容许平凡极大正交子范畴的高阶 Auslander 代数

对于整体维数为 $n(\geq 2)$ 的 Artinian $(n-1)$-Auslander 代数 $\Lambda$，我们证明了如果 $\Lambda$ 容许 $\mod\Lambda$ 的一个平凡极大 $(n-1)$-正交子范畴，则 $\Lambda$ 是 Nakayama 代数，且 $\mod\Lambda$ 中任何不可分解模的投射维数或内射维数至多为 $n-1$。由此，对于整体维数为 2 的 Artinian Auslander 代数，如果 $\Lambda$ 容许 $\mod\Lambda$ 的一个平凡极大 1-正交子范畴，则 $\Lambda$ 是有限表示型的倾斜代数。进一步，对于代数闭域 $K$ 上的有限维代数 $\Lambda$，我们证明了 $\Lambda$ 是基础且连通的、整体维数为 $n(\geq 2)$ 且容许 $\mod\Lambda$ 的一个平凡极大 $(n-1)$-正交子范畴的 $(n-1)$-Auslander 代数，当且仅当 $\Lambda$ 由箭图：\xymatrix{1 & \ar[l]_{\beta_{1}} 2 & \ar[l]_{\beta_{2}} 3 & \ar[l]_{\beta_{3}} ... & \ar[l]_{\beta_{n}} n+1} 模去由 $\{\beta_{i}\beta_{i+1}| 1\leq i\leq n-1 \}$ 生成的理想给出。作为推论，我们得到代数闭域 $K$ 上的有限维代数是容许平凡极大 $(n-1)$-正交子范畴且整体维数为 $n(\geq 2)$ 的 $(n-1)$-Auslander 代数，当且仅当它是 $K$ 与上述 $\Lambda$ 的有限直积。此外，我们给出了 Artinian Auslander 代数容许非平凡极大 1-正交子范畴的某些必要条件。