Riesz 空间分数阶对流-弥散方程的高阶数值方法

本文针对有限区域上的 Riesz 空间分数阶对流-弥散方程（RSFADE）提出高阶数值方法。RSFADE 由标准对流-弥散方程通过将一阶和二阶空间导数分别替换为阶数为 $\alpha\in(0,1)$ 和 $\beta\in(1,2]$ 的 Riesz 分数阶导数得到。首先，我们利用加权移位 Gr"unwald 差分算子逼近 Riesz 分数阶导数，并给出 RSFADE 的有限差分方法。具体地，我们讨论了 Crank-Nicolson 格式并以矩阵形式求解。其次，我们证明该格式无条件稳定且收敛，精度为 $\mathcal {O}(\tau^2+h^2)$。第三，我们采用 Richardson 外推法（REM）将收敛阶提升至 $\mathcal {O}(\tau^4+h^4)$。最后，给出若干数值算例以展示该数值方法的有效性，结果与理论分析十分吻合。