解的高度增长与离散潘勒韦方程

考虑离散方程 $$y_{n+1}+y_{n-1}=\frac{a_n+b_ny_n+c_ny_n^2}{1-y_n^2},$$ 其中右侧是关于 $y_n$ 的二次式，且系数 $a_n$、$b_n$ 和 $c_n$ 是具有有理系数的 $n$ 的有理函数。假设存在一解使得对所有足够大的 $n$，$y_n\in\mathbb{Q}$ 且 $y_n$ 的高度主导系数函数 $a_n$、$b_n$ 和 $c_n$ 的高度。我们证明，若 $y_n$ 的对数高度增长不快于 $n$ 的幂次，则该方程要么是著名的离散潘勒韦方程 ${\rm dP}_{\!\rm II}$ 或其自治版本，要么 $y_n$ 也是离散里卡蒂方程的一个可容许解。这进一步证明了缓慢的高度增长是可积性的良好检测器。