Painlevé 超越函数与 PT 对称哈密顿量

对第一和第二 Painlevé 超越函数的不稳定分界线解进行了数值和解析研究。对于固定的初始条件，例如 $y(0)=0$，存在一组离散的初始斜率 $y'(0)=b_n$ 产生分界线解。类似地，对于固定的初始斜率，例如 $y'(0)= 0$，存在一组离散的初始值 $y(0)=c_n$ 产生分界线解。对于 Painlevé I，$b_n$ 的大 $n$ 渐近行为为 $b_n\sim B_{\rm I}n^{3/5}$，$c_n$ 的渐近行为为 $c_n\sim C_{\rm I}n^{2/ 5}$；对于 Painlevé II，$b_n$ 的大 $n$ 渐近行为为 $b_n \sim B_{\rm II}n^{2/3}$，$c_n$ 的渐近行为为 $c_n\sim C_{\rm II}n^{1/3}$。常数 $B_{\rm I}$、$C_{\rm I}$、$B_{\rm II}$ 和 $C_{\rm II}$ 首先通过数值确定。然后，通过将非线性方程简化为与三次和四次 PT 对称哈密顿量 $H=\frac{1}{2}p^2+2ix^3$ 和 $H=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{2}x^4$ 相关的线性本征值问题，以解析闭式形式求得这些常数。