关于亚纯函数的对数差分、差商与对数导数的增长

Ablowitz、Halburd、Herbst 与 Korhonen \cite{AHH}、\cite{HK-2} 近期发现离散 Painlevé 方程与（有限阶）Nevanlinna 理论之间存在联系的一个关键要素，是对 $\log^+|f(z+1)/f(z)|$ 在 $|z|=r$ 上的积分平均的估计。我们在先前论文 \cite{CF} 中独立于 Halburd 等人 \cite{HK-1} 得到了本质上相同的估计。本文中我们继续该研究，建立了有限阶亚纯函数的对数差分、差商与对数导数之间完全的渐近关系。除我们的新估计在可积系统中的潜在应用外，它们本身亦具独立意义。特别地，我们的结果表明阶小于和大于 1 的亚纯函数的增长之间存在显著差异。我们建立了阶小于 1 的亚纯函数的经典 Wiman-Valiron 型估计的“差分”类比，由此可证明阶小于 1 的线性差分方程（具多项式系数）的所有整解必有正有理增长阶。我们还证明了任意一阶代数差分方程（具多项式系数）的整解必有正增长阶，这是 Pólya 一个经典结果的“差分”类比。