散度型椭圆偏微分算子在 Robin 型边界条件下的热核界

本文的主要议题之一是在有界 Lipschitz 域 $\Om \subset \bbR^n$ 中，实现与具有（非局部）Robin 型边界条件的散度型椭圆偏微分表达式 $L$ 相关联的自伴算子 $L_{\Theta, \Om}$（定义于 $L^2(\Om; d^n x)^m$，$m, n \in \bbN$）。特别地，我们发展了向量值情形下的理论，因此重点关注矩阵值微分表达式 $L$，其作用方式为 $$Lu = - \biggl(\sum_{j,k=1}^n\partial_j\bigg(\sum_{\beta = 1}^m a^{\alpha,\beta}_{j,k}\partial_k u_\beta\bigg) \bigg)_{1\leq\alpha\leq m}, \quad u=(u_1,...,u_m).$$ 相应的（非局部）Robin 型边界条件形式为 $$\nu \cdot A D u + \Theta \big[u\big|_{\partial \Om}\big] = 0 \, \text{on $\partial \Om$},$$ 其中 $\Theta$ 表示作用于与 $\Om$ 的边界 $\partial \Om$ 相关联的 Sobolev 空间的适当算子，$\nu$ 表示 $\partial\Om$ 上的外向单位法向量，且 $Du:=\bigl(\partial_j u_\alpha\bigr)_{\substack{1\leq\alpha\leq m 1\leq j\leq n}}$。假设在标量情形 $m=1$ 下 $\Theta \geq 0$，我们利用相关半群的保正性论证，并将问题归约为 $\partial \Om$ 上 Neumann 边界条件情形下的相应 Gaussian 热核界，从而证明了 $L_{\Theta, \Om}$ 的 Gaussian 热核界。我们还讨论了额外的零阶势系数 $V$，即对应于形式和 $L_{\Theta, \Om} + V$ 的算子。