非极小拉普拉斯型算子的热渐近展开及其在非交换环面上的应用

设 $P$ 为作用在紧黎曼流形上光滑厄米向量丛 $V$（纤维为 $\mathbb{C}^N$）的拉普拉斯型算子，局部由 $P= - [g^{\mu\nu} u(x)\partial_\mu\partial_\nu + v^\nu(x)\partial_\nu + w(x)]$ 给出，其中 $u,\,v^\nu,\,w$ 为 $M_N(\mathbb{C})$ 值函数，且 $u(x)$ 正定可逆。对任意 $a \in \Gamma(\text{End}(V))$，我们考虑渐近展开 $\text{Tr} (a e^{-tP}) \underset{t \downarrow 0^+}{\sim} \,\sum_{r=0}^\infty a_r(a, P)\,t^{(r-d)/2}$，其中系数 $a_r(a, P)$ 可局部写为 $a_r(a, P)(x) = \text{tr}[a(x) \mathcal{R}_r(x)]$。我们完成了 $\mathcal{R}_2$ 的计算，为计算非交换环面的模标量曲率提供了可能。