通过曲率-维数条件的球面上调和测度

我们证明，在 $n$ 维单位球面上，具有正比于如下密度的概率测度族：$$S^n \ni y \mapsto \frac{1}{|y - x|^{n+\alpha}},$$ 满足曲率-维数条件 $CD(n-1-\frac{n+\alpha}{4},-\alpha)$，其中所有 $|x| < 1$，$\alpha \geq -n$ 且 $n\geq 2$。$\alpha = 1$ 的情形对应于从 $x$ 出发的布朗运动击中球面的分布（即球面上的所谓“调和测度”）。文中讨论了涉及等周、谱隙和集中估计的应用以及潜在的推广。