含二进情形的 $p$-adic 酉厄米特矩阵空间上的调和分析

我们关注基于球函数的 $p$-adic 齐性空间上的调和分析。在本文中，我们研究 ${\mathfrak p}$-adic 域 $k$ 上大小为 $m$ 的酉厄米特矩阵空间 $X$，并给出包含二进情形的统一描述，这是我们之前关于非二进情形论文的延续。当 $e = v_\pi(2) > 0$ 时，该空间变得复杂。首先我们引入 $X$ 上一个典型的球函数 $\omega(x;z)$，并研究其依赖于 $m$ 和 $e$ 的函数方程，给出了 $\omega(x;z)$ 的显式公式，其中 $C_n$ 型 Hall-Littlewood 多项式作为主项出现，根据 $m = 2n$ 或 $2n+1$ 有不同特化，但与 $e$ 无关。通过球变换，我们证明 Schwartz 空间 ${\mathcal S}(K \backslash X)$ 是秩为 $2^n$ 的自由 Hecke 代数 ${\mathcal H}(G,K)$-模，并给出了 $X$ 上所有球函数的参数化以及 ${\mathcal S}(K \backslash X)$ 上显式的 Plancherel 公式。Plancherel 测度不依赖于 $e$，但 $X$ 上 $G$-不变测度的归一化则依赖。